Untersuchen Auf Stetigkeit Beispiel Essay

Wie wir gesehen haben, kann eine Funktion stetig und trotzdem nicht differenzierbar sein. Dazu ein kleines Beispiel:

Prüfung der Stetigkeit

Funktion mit einem Knick bei -2: Klicken Sie bitte auf die Lupe.

Betrachten wir die Funktion f(x) gleich x plus 2 Betrag mit x Element aus R, also aus dem reellen Zahlenbereich. Der grafischen Darstellung der Funktion (siehe nebenstehende Abbildung) können Sie entnehmen, dass die Funktion an der Stelle x0 = -2 einen Knick hat.

Wir untersuchen zuerst über links- und rechtsseitige Annäherung die Stetigkeit der Funktion an diesem Punkt – klicken Sie bitte auf die Abbildung.

Die linksseitige Annäherung an den Knickpunkt führt über Limes Betrag von minus 2 minus h plus 2 für h gegen null zur wahren Aussage null gleich null, da der Funktionswert minus 2 plus 2 null ergibt. Klicken Sie bitte auf oben stehende Abbildung.

Rechtsseitige Annäherung - klicken Sie bitte auf die Lupe.

Auch bei der rechtsseitigen Annäherung ergibt sich der Wert null. Die Funktion ist also stetig. Nun überprüfen wir auch die Differenzierbarkeit:

Prüfung der Differenzierbarkeit

Prüfung der Differenzierbarkeit - klicken Sie bitte auf die Lupe.

Die Ableitung der Funktion f(x) = x plus 2 im Betrag hat den festen Wert 1. Für die linksseitige Annäherung an den Knickpunkt bei x0 = -2 ergibt sich Limes für h gegen null hoch minus, als Symbol für die linksseitige Annäherung, ist gleich Betrag von minus 2 minus h für x0 plus 2, minus Betrag von minus 2 plus 2, und das Ganze geteilt durch minus h.

Prüfung der Differenzierbarkeit - klicken Sie bitte auf die Lupe.

Der Betrag von minus h ist plus h. Plus h durch minus h ist gleich minus 1. Da die linksseitige Annäherung an den Punkt x0 = -2 einen anderen Wert ergibt als die Ableitung, ist bereits jetzt klar, dass die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar ist.

Es kann somit auf die rechtsseitige Annäherung verzichtet werden. Die Funktion f(x) gleich x plus 2 im Betrag ist an der Stelle x0 = -2 zwar stetig, aber nicht differenzierbar.

Fazit

  • Nicht jede stetige Funktion muss auch an allen Stellen differenzierbar sein!
  • Jede Funktion, die an einer Stelle x0 differenzierbar ist, ist an dieser Stelle auch stetig.

Vereinfachte Vorstellung: Stetigkeit

Die Voraussetzung für Stetigkeit und Differenzierbarkeit lässt sich folgendermaßen vereinfacht vorstellen:

Vereinfachte Vorstellung der Stetigkeit

Die Grundfunktion ist maßgebend - die linksseitige und die rechtsseitige Annäherung müssen gleich sein, damit die Funktion stetig ist. Als Grenzwertgleichung geschrieben (siehe nebenstehende Abbildung): Der Grenzwert von f(x0) minus h ist für h gegen 0- gleich dem Grenzwert von f(x0) plus h für h gegen 0+.

Vereinfachte Vorstellung: Differenzierbarkeit

Differenzierbarkeit - klicken Sie bitte auf die Lupe.

Für die Differenzierbarkeit betrachten wir nach dem gleichen System die Ableitungsfunktionen - im Grunde genommen die Tangentensteigungen. Dann ergibt sich auch eine links- und rechtsseitige Annäherung, aber jetzt bei der Ableitungsfunktion. Wie Sie sehen, sind die beiden Kriterien ziemlich nah verwandt. Was für die Stetigkeit mit der Grundfunktion zu überprüfen war, ist für die Differenzierbarkeit mit der Ableitungsfunktion durchzuführen.

Zum Abschluss gehen wir noch einmal auf unser Beispiel vom Anfang ein: also auf den Menschen, der sich kontinuierlich dick und dicker aß und dann rapide bis zu einem bestimmten Gewichtsmaß abnahm.

Am Knickpunkt x0 - an dem Punkt, an welchem unser Mann im Film dem übermäßigen Essen ein Ende setzte - ist die aus den Messwerten entstandene Funktion stetig. Sie ist aber nicht differenzierbar, da die Gewichtszunahme nach einem anderen funktionalen Zusammenhang verlief, als die Gewichtsabnahme. Sie sind ab heute in der Lage, dies alles mathematisch nachzuweisen.

Mithilfe des Grenzwertbegriffs wird Stetigkeit folgendermaßen definiert:

  • Die Funktion f heißt an der Stelle stetig, wenn der Grenzwert von f an der Stelle existiert und mit dem Funktionswert an der Stelle übereinstimmt, d.h., wenn gilt:

    (Kurz und vereinfacht merkt man sich: „Funktionswert gleich Grenzwert!“)

Wenn zum Definitionsbereich gehört, die Funktion f aber an der Stelle nicht stetig sein sollte, so kann das nur an einer der beiden folgenden Ursachen liegen:

Entweder hat die Funktion keinen Grenzwert für (dann liegt bei eine echteUnstetigkeit vor) oder sie hat einen Grenzwert, der aber von verschieden ist (in diesem Fall spricht man von einer hebbaren Unstetigkeit). In folgendem Bild sind diese beiden Fällen dargestellt.

Die links dargestellte Funktion ist an der Stelle echt unstetig, da sie dort keinen Grenzwert besitzt.
Die rechts dargestellte Funktion hat an der Stelle einen Grenzwert, ist an dieser Stelle allerdings unstetig, da Grenzwert und Funktionswert dort nicht übereinstimmen. Die Unstetigkeit ist jedoch hebbar, d.h., sie kann durch Umdefinieren von f an der Stelle aufgehoben (behoben) werden, indem man den Punkt im rechten Bild „an die richtige Stelle absenkt“.

Den Begriff Stetigkeit kann man auch ohne Bezug zum Grenzwertbegriff definieren, indem man auf den Umgebungsbegriff zurückgeht. Man definiert dann folgendermaßen:

  • Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle , wenn es zu jedem eine Zahl gibt, sodass für alle x aus einer Umgebung gilt:

    (Mit anderen Worten: liegt in einer beliebig vorgegebenen -Umgebung von , wenn x nur nahe genug bei liegt.)
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